Sửa đề: Sửa x+y thành x-y đi nhé ở giả thiết âý

Lời giải+làm rõ cái gợi ý

Ta có mệnh đề \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\), áo dụng cái này với \(a=\left(y-z\right)\sqrt[3]{1-x^3};b=\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-y^3};c=\left(x-y\right)\sqrt{1-z^3}\) ta được: 

\(\left(y-z\right)^3\left(1-x^3\right)+\left(z-x\right)^3\left(1-y^3\right)+....=...\) (như trên)

Suy ra \(\left(\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3+\left(x-y\right)^3\right)-\left(\left(xy-xz\right)^3+\left(yz-xy\right)^3+\left(zx-yz\right)^3\right)\)

\(=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x+z\right)\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\left(1\right)\)

Ta lại có:\(\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3+\left(x-y\right)^3=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(2\right)\)

Và \(\left(xy-zx\right)^3+\left(yz-xy\right)^3+\left(zx-yz\right)^3=3xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(3\right)\)

Thay (2),(3) vào (1) ta có:

\(3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(1-xyz\right)=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\)

Vì x,y,z đôi một khác nhau nên 

\(\left(1-xyz\right)=\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\)

\(\Leftrightarrow\left(1-xyz\right)^3=\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)

P.s:mệt quá rồi, vừa làm vừa ngáp có gì mai thanh toán

Bạn lập phương 2 vế của phương trình =0 đó rồi nhân tung ra (vất vả) rồi kết hợp với gợi ý của thầy cậu là ok

còn cách nào khác không bạn ?

Tương tự: https://hoc24.vn/hoi-dap/question/279767.html

Áp dụng BĐT Cauchy cho cặp số dương \(\dfrac{1}{\left(z+x\right)};\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\)

\(\dfrac{1}{\left(z+x\right)}+\dfrac{1}{\left(z+y\right)}\ge\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\left(1\right)\)

Tương tự ta được

\(\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}\le\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}\left(2\right)\)

\(\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\left(3\right)\)

\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\) ta được :

\(P=\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt[]{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt[]{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}+\dfrac{2zx}{y+z}+\dfrac{2zx}{y+x}+\dfrac{2xy}{z+x}+\dfrac{2xy}{z+y}\)

\(\Rightarrow P\le2\left(x+y+z\right)=2.3=6\)

\(\Rightarrow GTLN\left(P\right)=6\left(tạix=y=z=1\right)\)

@Akai Haruma, Nguyen, Nguyễn Thị Ngọc Thơsvtkvtm

Bạn tham khảo tại đây:

Câu hỏi của Vũ Sơn Tùng - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Xét hạng tử: \(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}\)

Thay \(xy+yz+zx=1\); ta có:

\(x\sqrt{\frac{\left(y^2+xy+yz+zx\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)}{x^2+xy+yz+zx}}=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)^2\left(x+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=xy+xz\)

Tượng tự: \(y\sqrt{\frac{\left(1+z^2\right)\left(1+x^2\right)}{1+y^2}}=xy+yz;z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}=xz+yz\)

Do đó: \(A=2\left(xy+yz+zx\right)=2.1=2\)

ĐS:...